第二章：系统的状态空间描述

一、基本概念 (Basic Concepts)

  1. 状态 (State)：表征系统在某一时刻的运动状况的一组变量的集合。它包含了关于系统过去行为的足够信息，使得在已知当前状态和未来输入的情况下，可以完全确定系统未来的行为。

  2. 状态变量 (State Variables)：构成系统状态的最小数目的一组独立变量。

    • 选取原则：
      • 能够完全描述系统的动态行为。
      • 变量之间线性无关。
      • 个数最少。
    • 个数确定：
      • 等于描述系统的微分方程的阶数。
      • 等于系统传递函数分母多项式的阶数（无零极点对消时）。
      • 等于系统中独立的储能元件的个数（对于物理系统）。
    • 注意：同一系统的状态变量选取不是唯一的，但状态变量的个数是唯一的。

  3. 状态向量 (State Vector)：由状态变量组成的列向量，记为 \(\textbf{x}(t)\)。 \[ \textbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix} \]

  4. 状态空间 (State Space)：以状态向量的各个分量（即状态变量）为坐标轴所构成的n维空间。系统在任一时刻的状态对应于状态空间中的一个点。

  5. 状态轨迹 (State Trajectory)：随着时间的推移，状态点在状态空间中描绘出的轨迹。

    [图片：二维或三维状态空间中的状态轨迹示意图]

  6. 状态方程 (State Equation)：描述系统状态随时间变化规律的一阶微分方程组（或差分方程组）。

    • 一般形式 (非线性、时变)： \[ \dot{\textbf{x}}(t) = \textbf{f}(\textbf{x}(t), \textbf{u}(t), t) \]
    • 线性时变系统： \[ \dot{\textbf{x}}(t) = A(t)\textbf{x}(t) + B(t)\textbf{u}(t) \]
    • 线性定常系统 (Linear Time-Invariant, LTI) (本课程主要研究对象)： \[ \dot{\textbf{x}}(t) = A\textbf{x}(t) + B\textbf{u}(t) \] 其中：
      • \(\textbf{x}(t)\)：n维状态向量
      • \(\textbf{u}(t)\)：r维输入向量
      • \(A\)：\(n \times n\) 系统矩阵 (或状态矩阵)
      • \(B\)：\(n \times r\) 输入矩阵 (或控制矩阵)

  7. 输出方程 (Output Equation)：描述系统输出与状态变量和输入变量之间关系的代数方程。

    • 一般形式 (非线性、时变)： \[ \textbf{y}(t) = \textbf{g}(\textbf{x}(t), \textbf{u}(t), t) \]
    • 线性时变系统： \[ \textbf{y}(t) = C(t)\textbf{x}(t) + D(t)\textbf{u}(t) \]
    • 线性定常系统 (LTI)： \[ \textbf{y}(t) = C\textbf{x}(t) + D\textbf{u}(t) \] 其中：
      • \(\textbf{y}(t)\)：m维输出向量
      • \(C\)：\(m \times n\) 输出矩阵
      • \(D\)：\(m \times r\) 直接传递矩阵 (或前馈矩阵)。通常情况下，若无特殊说明，\(D=0\)。

  8. 状态空间表达式 (State-Space Representation)：由状态方程和输出方程共同组成，完整描述了系统的动态特性。

    \[ \begin{cases} \dot{\textbf{x}}(t) = A\textbf{x}(t) + B\textbf{u}(t) \\ \textbf{y}(t) = C\textbf{x}(t) + D\textbf{u}(t) \end{cases} \]

  9. 系统框图表示：状态空间表达式可以用包含比例、积分、加法器三种基本环节的框图来表示。

    [图片：线性定常系统状态空间表达式的框图，清晰标出A, B, C, D矩阵以及积分器]

    输入通过B矩阵作用于状态的导数，状态的导数经过积分器得到状态，状态通过A矩阵反馈影响自身导数，状态通过C矩阵形成输出，输入也可能通过D矩阵直接影响输出。

二、建立状态空间模型的方法

建立系统状态空间模型的一般步骤：

  1. 选择合适的状态变量：这是最关键的一步，需要保证所选变量能够完全描述系统动态，并且是相互独立的最小集合。
  2. 建立微分方程组：根据系统的物理机理或其他规律，列写关于状态变量和输入变量的一阶微分方程。
  3. 整理成标准形式：将微分方程组和输出关系式整理成矩阵形式的状态方程和输出方程。

1. 框图法 (Block Diagram Method)

核心思想：将系统的动态结构图（模拟框图）转化为只包含比例、积分和加法器环节的框图，然后选择每个积分器的输出作为状态变量，根据框图关系列写状态方程和输出方程。

步骤：

  1. 框图变换：将原框图中的微分环节、惯性环节等变换为由积分环节、比例环节和加法环节组成的基本形式。

    • 惯性环节：\( \frac{K}{Ts+1} = \frac{K/T}{s+1/T} = \frac{K}{T} \cdot \frac{1/s}{1 + (1/T) \cdot (1/s)} \)
      [图片：惯性环节等效为积分反馈结构]
    • PI环节：\( \frac{K_ps+K_I}{s} = K_p + \frac{K_I}{s} \)
      [图片：PI环节等效为比例和积分并联结构]
    • 重积分环节：\(\frac{K}{s^n}\) 可以看作n个积分环节串联。
  2. 选取状态变量：选取每一个积分器的输出作为状态变量 \(x_i\)。则该积分器的输入即为 \(\dot{x}_i\)。
  3. 列写方程：根据变换后的框图，从每个 \(\dot{x}_i\) 和输出 \(y_j\) 出发，反向推导，将其表示为状态变量 \(x_k\) 和输入 \(u_l\) 的线性组合。
  4. 整理成标准形式：将列出的方程组写成矩阵形式。

例题解析 (参考 chapter2_State_space_Model.pdf P25-P29)

已知系统模拟结构图如下，建立其状态空间表达式。

[图片：chapter2_State_space_Model.pdf P25 的框图]

解题步骤：

解题技巧：

2. 机理分析法 (Physical Principles Analysis Method)

核心思想：根据系统的物理定律（如牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒等）直接列写描述系统动态行为的微分方程，并选择合适的物理量作为状态变量，最终整理成状态空间表达式。

步骤：

  1. 选择状态变量：通常选择系统中能够反映能量存储或独立动态过程的物理量。

    • 电路系统：电容电压、电感电流。
    • 机械系统：位移、速度；弹簧的伸长量、阻尼器的速度等。
    • 选择的变量必须是独立的。
  2. 建立微分方程：根据相关物理定律列写关于状态变量的一阶微分方程。
  3. 整理成标准形式：将方程组写成矩阵形式。

例题1：RLC电路 (参考 chapter2_State_space_Model.pdf P33-P37)

[图片：chapter2_State_space_Model.pdf P33 的RLC电路图]

输入为电压 \(u\)，输出为电容电压 \(u_c = y\)。

解题步骤：

例题2：弹簧-质量-阻尼系统 (参考 chapter2_State_space_Model.pdf P39-P40)

[图片：chapter2_State_space_Model.pdf P39 的弹簧质量阻尼系统图]

输入为外力 \(f\)，输出为位移 \(y\)。

解题技巧：

3. 传递函数法 (Transfer Function Method)

核心思想：从已知的系统微分方程或传递函数出发，通过一定的变换规则，得到系统的状态空间表达式。这种方法有多种具体形式，如可控标准型、可观标准型等。

前提：传递函数 \(G(s)\) 必须是正则的（分母阶次 \(\ge\) 分子阶次）。

a. 从高阶微分方程到状态空间表达式 (可控标准型 I)

考虑n阶单输入单输出 (SISO) 系统的微分方程： \[ y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1 y^{(1)} + a_0 y = b_{m}u^{(m)} + \dots + b_1 u^{(1)} + b_0 u \quad (m \le n) \] 当 \(m < n\) 时（即 \(D=0\)）： 令传递函数为： \[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{n-1}s^{n-1} + \dots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0} \] (注意：PPT中通常将分母首项系数归一，分子系数从 \(b_0\) 到 \(b_{n-1}\) 或 \(\beta_0\) 到 \(\beta_{n-1}\)，这里为了和PPT P54的“可控标准型”对应，分子系数写为 \(b_0, \dots, b_{n-1}\)，分母系数写为 \(a_0, \dots, a_{n-1}\))

引入辅助变量 \(Z(s)\)，使得： \[ \frac{Z(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0} \] \[ Y(s) = (b_{n-1}s^{n-1} + \dots + b_1 s + b_0)Z(s) \] 对应的时域关系为： \(z^{(n)} + a_{n-1}z^{(n-1)} + \dots + a_1 z^{(1)} + a_0 z = u\) \(y = b_{n-1}z^{(n-1)} + \dots + b_1 z^{(1)} + b_0 z\)

选取状态变量： \(x_1 = z\) \(x_2 = \dot{z} = z^{(1)}\) ... \(x_n = z^{(n-1)}\)

则状态方程为： \(\dot{x}_1 = x_2\) \(\dot{x}_2 = x_3\) ... \(\dot{x}_{n-1} = x_n\) \(\dot{x}_n = z^{(n)} = -a_0 x_1 - a_1 x_2 - \dots - a_{n-1} x_n + u\)

输出方程为： \(y = b_0 x_1 + b_1 x_2 + \dots + b_{n-1} x_n\)

矩阵形式（可控标准型）： \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \] \[ C = \begin{bmatrix} b_0 & b_1 & \dots & b_{n-1} \end{bmatrix}, \quad D = [0] \] (注意：这里的 \(a_i\) 对应的是 \(s^i\) 的系数，与经典控制中 \(a_i y^{(i)}\) 的 \(a_i\) 不同，要特别注意分母系数的对应关系。PPT P54 的 \(a_i\) 是 \(s^i\) 的系数。)

当 \(m=n\) 时，即 \(G(s)\) 为非严格正则传递函数： \[ G(s) = \frac{b_n s^n + b_{n-1}s^{n-1} + \dots + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_0} \] 可以通过多项式除法分离出常数项 \(d = b_n\)： \[ G(s) = \frac{(b_{n-1}-a_{n-1}b_n)s^{n-1} + \dots + (b_0-a_0b_n)}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_0} + b_n \] 令 \(\bar{b}_i = b_i - a_i b_n\) (对于 \(i=0, \dots, n-1\))。则前半部分为严格正则传递函数，按 \(m

例题 (参考 chapter2_State_space_Model.pdf P55) 系统微分方程: \(\dddot{y} + 5\ddot{y} + 7\dot{y} + 3y = \ddot{u} + 2u\) (注意：这里PPT的题目分子是 \(\ddot{u}\)，但其解答的传递函数是 \(\frac{s+2}{\dots}\)，这对应的是 \(\dot{u}+2u\)。我们按PPT解答的传递函数来。) 传递函数： \(Y(s) = \frac{s+2}{s^3+5s^2+7s+3}U(s)\) 这里 \(n=3\)。分母：\(s^3+5s^2+7s+3 \implies a_2=5, a_1=7, a_0=3\)。 分子：\(s+2 \implies b_2=0, b_1=1, b_0=2\)。 (与标准型 \(s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_0\) 和 \(b_{n-1}s^{n-1} + \dots + b_0\) 比较，这里 \(a_0=3, a_1=7, a_2=5\) 和 \(b_0=2, b_1=1, b_2=0\))

状态空间表达式为： \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -3 & -7 & -5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \] \[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = [0] \] 这与PPT P55 的解一致。

b. 从传递函数到状态空间表达式 (其他标准型)

例题：串联分解与并联分解 (参考 chapter2_State_space_Model.pdf P61-P68)

c. 从状态空间表达式到传递函数矩阵

对于SISO系统： \[ G(s) = C(sI-A)^{-1}B + D \] 对于MIMO系统，得到的是传递函数矩阵 \(G(s)\)。 \[ G(s) = \frac{C \text{adj}(sI-A) B}{|sI-A|} + D \] 关键步骤：

  1. 计算 \(sI-A\)。
  2. 计算 \((sI-A)^{-1}\)，即 \(\frac{\text{adj}(sI-A)}{|sI-A|}\)。
    • \(|sI-A|\) 是特征多项式。
    • \(\text{adj}(sI-A)\) 是 \(sI-A\) 的伴随矩阵。
  3. 代入公式计算 \(G(s)\)。

例题 (参考 chapter2_State_space_Model.pdf P73) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}, D = [0]\) \(sI-A = \begin{bmatrix} s-1 & -2 \\ 2 & s-1 \end{bmatrix}\) \(|sI-A| = (s-1)^2 - (-2)(2) = s^2-2s+1+4 = s^2-2s+5\) \(\text{adj}(sI-A) = \begin{bmatrix} s-1 & 2 \\ -2 & s-1 \end{bmatrix}\) \((sI-A)^{-1} = \frac{1}{s^2-2s+5} \begin{bmatrix} s-1 & 2 \\ -2 & s-1 \end{bmatrix}\) \(G(s) = \frac{1}{s^2-2s+5} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s-1 & 2 \\ -2 & s-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) \(G(s) = \frac{1}{s^2-2s+5} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s-1 \\ -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{s^2-2s+5} (s-1-2) = \frac{s-3}{s^2-2s+5}\)

解题技巧：

三、复合系统 (Composite Systems)

当系统由多个子系统互联而成时，其总的状态空间表达式可以由各子系统的状态空间表达式组合得到。设子系统 \(\Sigma_1\) 和 \(\Sigma_2\) 的状态空间表达式分别为： \(\Sigma_1: \begin{cases} \dot{\textbf{x}}_1 = A_1\textbf{x}_1 + B_1\textbf{u}_1 \\ \textbf{y}_1 = C_1\textbf{x}_1 + D_1\textbf{u}_1 \end{cases}\) \(\Sigma_2: \begin{cases} \dot{\textbf{x}}_2 = A_2\textbf{x}_2 + B_2\textbf{u}_2 \\ \textbf{y}_2 = C_2\textbf{x}_2 + D_2\textbf{u}_2 \end{cases}\) 复合系统的状态向量为 \(\textbf{x} = \begin{bmatrix} \textbf{x}_1 \\ \textbf{x}_2 \end{bmatrix}\)。

  1. 并联 (Parallel Connection)：

    • 连接方式：\(\textbf{u}_1 = \textbf{u}_2 = \textbf{u}\), \(\textbf{y} = \textbf{y}_1 + \textbf{y}_2\)
    • [图片：两个子系统并联的框图]
    • 状态空间表达式： \[ \dot{\textbf{x}} = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} \textbf{x} + \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix} \textbf{u} \] \[ \textbf{y} = \begin{bmatrix} C_1 & C_2 \end{bmatrix} \textbf{x} + (D_1+D_2)\textbf{u} \]
    • 传递函数矩阵：\(G(s) = G_1(s) + G_2(s)\)

  2. 串联 (Series Connection)：

    • 连接方式：\(\textbf{u}_1 = \textbf{u}\), \(\textbf{u}_2 = \textbf{y}_1\), \(\textbf{y} = \textbf{y}_2\)
    • [图片：两个子系统串联的框图，\(\Sigma_1\)在前，\(\Sigma_2\)在后]
    • 状态空间表达式： \[ \dot{\textbf{x}} = \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ B_2C_1 & A_2 \end{bmatrix} \textbf{x} + \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2D_1 \end{bmatrix} \textbf{u} \] \[ \textbf{y} = \begin{bmatrix} D_2C_1 & C_2 \end{bmatrix} \textbf{x} + D_2D_1\textbf{u} \]
    • 传递函数矩阵：\(G(s) = G_2(s)G_1(s)\)

  3. 反馈连接 (Feedback Connection) (以输出反馈为例，\(\Sigma_1\)为前向通道，\(\Sigma_2\)为反馈通道，负反馈)

    • 连接方式：\(\textbf{u}_1 = \textbf{u} - \textbf{y}_2\), \(\textbf{u}_2 = \textbf{y}_1\), \(\textbf{y} = \textbf{y}_1\)
    • [图片：两个子系统反馈连接的框图]
    • 为简化，设 \(D_1=0, D_2=0\)。
    • 状态空间表达式： \[ \dot{\textbf{x}} = \begin{bmatrix} A_1 & -B_1C_2 \\ B_2C_1 & A_2 \end{bmatrix} \textbf{x} + \begin{bmatrix} B_1 \\ 0 \end{bmatrix} \textbf{u} \] \[ \textbf{y} = \begin{bmatrix} C_1 & 0 \end{bmatrix} \textbf{x} \]
    • 传递函数矩阵：\(G(s) = [I + G_1(s)G_2(s)]^{-1}G_1(s)\)

四、状态空间表达式的性质

  1. 线性变换 (Linear Transformation)： 设 \(\textbf{x} = P\bar{\textbf{x}}\) 为一个非奇异线性变换 (\(P\) 为非奇异矩阵)。 则新的状态空间表达式为： \[ \begin{cases} \dot{\bar{\textbf{x}}} = \bar{A}\bar{\textbf{x}} + \bar{B}\textbf{u} \\ \textbf{y} = \bar{C}\bar{\textbf{x}} + \bar{D}\textbf{u} \end{cases} \] 其中： \(\bar{A} = P^{-1}AP\) \(\bar{B} = P^{-1}B\) \(\bar{C} = CP\) \(\bar{D} = D\) 重要性质：

    • 线性变换不改变系统的传递函数矩阵：\(G(s) = C(sI-A)^{-1}B+D = \bar{C}(sI-\bar{A})^{-1}\bar{B}+\bar{D}\)。
    • 线性变换不改变系统矩阵的特征值（即系统的极点）：\(|sI-A| = |sI-\bar{A}|\)。
    • 因此，线性变换不改变系统的稳定性、能控性和能观测性 (将在后续章节详细讨论)。

  2. 对角标准型 (Diagonal Canonical Form)： 如果系统矩阵 \(A\) 的 \(n\) 个特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) 互不相同，则存在非奇异变换矩阵 \(P\)（其列向量为 \(A\) 的特征向量），使得 \(\bar{A} = P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)\)。 此时的状态方程为：\(\dot{\bar{\textbf{x}}} = \Lambda \bar{\textbf{x}} + \bar{B}\textbf{u}\)。各个状态变量 \(\bar{x}_i\) 之间解耦。 如果 \(A\) 为可控标准型，则变换矩阵 \(P\) (使得 \(P^{-1}AP=\Lambda\)) 为范德蒙德矩阵： \[ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \dots & \lambda_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & \dots & \lambda_n^{n-1} \end{bmatrix} \] (注意：这里的 \(P\) 是将原系统化为对角型的 \(P\), 即 \(\bar{x} = P^{-1}x\) 或 \(x=P\bar{x}\) 中的 \(P\)。PPT P87 的 \(z=T^{-1}x\), \(\bar{A}=T^{-1}AT\), \(T=[p_1, \dots, p_n]\)。)

    例题 (参考 chapter2_State_space_Model.pdf P89) 给定 \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)。化为对角规范型。

    • 特征值：\(\lambda_1=2, \lambda_2=-1, \lambda_3=1\)。
    • 特征向量：\(p_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, p_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, p_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
    • 变换矩阵 \(T = [p_1, p_2, p_3] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)。
    • \(T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)。
    • \(\bar{A} = T^{-1}AT = \text{diag}(2, -1, 1)\)。
    • \(\bar{B} = T^{-1}B = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)。

  3. 状态空间表达式的非唯一性：

    • 对于同一个系统，由于状态变量的选取不是唯一的，其状态空间表达式也不是唯一的。
    • 不同的状态空间表达式之间可以通过非奇异线性变换相互转换。
    • 尽管表达式不同，但它们描述的是同一个系统的内在特性，因此系统的特征值、传递函数等是不变的。

五、总结

本章是后续学习的基础，务必深刻理解状态变量、状态方程的含义和建立方法。