第五章：系统稳定性

一、引言 (Introduction)

控制系统设计的首要前提是保证系统的稳定性。一个不稳定的系统在受到扰动后可能产生剧烈振荡甚至崩溃，无法正常工作。

本章主要讨论两种稳定性：

外部稳定性 (External Stability)：也称为输入-输出稳定性，通常指有界输入产生有界输出 (Bounded-Input Bounded-Output, BIBO) 稳定性。它描述的是系统在零初始条件下，对外部输入信号的响应特性。
内部稳定性 (Internal Stability)：也称为状态稳定性或李雅普诺夫意义下的稳定性，它描述的是系统在没有外部输入（或外部输入为零）的情况下，受到初始扰动后，其状态能否恢复到平衡状态或在平衡状态附近。

本章重点讨论内部稳定性，特别是李雅普诺夫稳定性理论。

二、外部稳定性 (BIBO Stability)

1. 定义

一个线性系统，如果对于任意有界的输入 \(\textbf{u}(t)\)（即 \(||\textbf{u}(t)|| \le M_u < \infty\)），其零状态响应的输出 \(\textbf{y}(t)\) 也是有界的（即 \(||\textbf{y}(t)|| \le M_y < \infty\)），则称该系统是BIBO稳定的。

2. 判据 (针对线性定常SISO系统)

线性定常SISO系统BIBO稳定的充分必要条件是：其传递函数 \(G(s)\) 的所有极点都具有负实部。如果极点位于虚轴上，则必须是单极点。 (PPT P6 提到“负实部或零实部”，通常对于严格的BIBO稳定，虚轴上的极点要求是单极点且对应于有界输出，例如纯积分环节对阶跃输入输出无界。更严谨的说法是脉冲响应绝对可积。)

例题 (参考 chapter5_System_Stability.pdf P6) 系统状态空间表达式为： \(\dot{\textbf{x}} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2.5 \end{bmatrix}\textbf{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}u\) \(y = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\textbf{x}\) 其传递函数为： \(G(s) = C(sI-A)^{-1}B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2.5 \end{bmatrix} \right)^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) \(= \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s+1 & 0 \\ 0 & s-2.5 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) \(= \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{(s+1)(s-2.5)} \begin{bmatrix} s-2.5 & 0 \\ 0 & s+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) \(= \frac{1}{(s+1)(s-2.5)} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s-2.5 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{s-2.5}{(s+1)(s-2.5)} = \frac{1}{s+1}\) 该传递函数的极点为 \(s=-1\)，具有负实部。因此，该系统是BIBO稳定的。注意：尽管系统矩阵 \(A\) 有一个正特征值 \(2.5\) (对应内部不稳定模态)，但由于这个模态在从输入到输出的传递过程中被零点 \(s=2.5\) 对消了（即该模态不可控或不可观测于此输入输出对），所以系统表现为BIBO稳定。这揭示了内部稳定性与外部稳定性的区别。

三、内部稳定性 (李雅普诺夫意义下的稳定性)

内部稳定性研究的是系统在无外部输入时，其状态在受到初始扰动后能否恢复到平衡状态。因此，主要分析齐次状态方程 \(\dot{\textbf{x}} = \textbf{f}(\textbf{x}, t)\)。

1. 平衡状态 (Equilibrium State)

对于系统 \(\dot{\textbf{x}} = \textbf{f}(\textbf{x}, t)\)，如果存在一个状态 \(\textbf{x}_e\) 使得对于所有 \(t \ge t_0\)，都有 \(\textbf{f}(\textbf{x}_e, t) \equiv \textbf{0}\)，则称 \(\textbf{x}_e\) 是系统的一个平衡状态（或平衡点）。

对于线性定常系统 \(\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}\)，如果 \(A\) 非奇异，则 \(\textbf{x}_e = \textbf{0}\) 是唯一的平衡状态。如果 \(A\) 奇异，则存在无穷多个平衡状态。
非线性系统可能有一个、多个或没有平衡状态。
我们可以通过坐标变换将任意孤立的平衡状态移到原点进行分析。本课程主要讨论原点 \(\textbf{x}_e = \textbf{0}\) 的稳定性。

2. 李雅普诺夫意义下的稳定性定义 (Definitions of Stability in the Sense of Lyapunov)

考虑系统 \(\dot{\textbf{x}} = \textbf{f}(\textbf{x}, t)\) 的平衡状态 \(\textbf{x}_e = \textbf{0}\)。设 \(\textbf{x}(t; \textbf{x}_0, t_0)\) 表示系统从初始时刻 \(t_0\) 的初始状态 \(\textbf{x}_0\) 出发的运动轨迹。 \(S(\epsilon)\) 表示以原点为中心，半径为 \(\epsilon\) 的开球区域。

稳定性 (Stable i.s.L.)：如果对于任意给定的 \(\epsilon > 0\)，总存在一个 \(\delta = \delta(\epsilon, t_0) > 0\)，使得当初始扰动满足 \(||\textbf{x}(t_0)|| < \delta\) 时，对于所有 \(t \ge t_0\)，系统的状态轨迹始终保持在 \(||\textbf{x}(t)|| < \epsilon\) 内。
[图片：PPT P18 (a) 稳定示意图]
渐近稳定性 (Asymptotically Stable)：如果平衡状态 \(\textbf{x}_e = \textbf{0}\) 是稳定的，并且还满足当 \(t \to \infty\) 时，\(\textbf{x}(t) \to \textbf{0}\) (即 \(\lim_{t \to \infty} ||\textbf{x}(t)|| = 0\))。
[图片：PPT P19 渐近稳定示意图]
大范围渐近稳定性 (Globally Asymptotically Stable)：如果平衡状态 \(\textbf{x}_e = \textbf{0}\) 是渐近稳定的，并且上述的 \(\delta\) 可以任意大（即吸引域是整个状态空间）。这意味着无论初始状态在哪里，系统最终都会回到平衡点 \(\textbf{0}\)。
不稳定性 (Unstable)：如果平衡状态不是稳定的，则称其为不稳定的。
[图片：PPT P21 不稳定示意图]

注意：对于线性定常系统，局部稳定性（如渐近稳定）等价于大范围稳定性。

3. 线性定常系统稳定性的特征值判据

对于线性定常系统 \(\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}\)：

渐近稳定 (Asymptotically Stable)：系统渐近稳定的充分必要条件是：系统矩阵 \(A\) 的所有特征值都具有严格负实部 (即 \(\text{Re}(\lambda_i) < 0\) for all \(i\))。
稳定性 (Stable i.s.L.)：系统稳定的充分必要条件是：
1. 系统矩阵 \(A\) 的所有特征值的实部均非正 (即 \(\text{Re}(\lambda_i) \le 0\) for all \(i\))。
2. 所有实部为零的特征值（即位于虚轴上的特征值，\(\text{Re}(\lambda_j) = 0\)）必须是 \(A\) 的最小多项式的单根。这意味着这些位于虚轴上的特征值对应的约旦块的维数必须是1。如果虚轴上有重根，它们不能属于同一个约旦块。
  - 例如，如果 \(\lambda=0\) 是二重特征值，若其对应两个独立的特征向量（两个 \(1 \times 1\) 的约旦块），系统可能是稳定的。若只对应一个特征向量（一个 \(2 \times 2\) 的约旦块，如 \(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)），则系统不稳定 (其解包含 \(t\) 项)。
不稳定性 (Unstable)：如果 \(A\) 至少有一个特征值的实部为正，或者 \(A\) 有实部为零的特征值且该特征值是最小多项式的重根（即对应的约旦块维数大于1），则系统不稳定。

例题 (参考P26)

\(\dot{\textbf{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\textbf{x}\) 特征值为 \(\lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3=-1\)。矩阵 \(A\) 已经是约旦型（对角型）。两个零特征值分别对应不同的约旦块（都是 \(1 \times 1\)）。因此，系统是稳定的 (i.s.L.)，但不是渐近稳定的。
\(\dot{\textbf{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\textbf{x}\) 特征值为 \(\lambda_1=0, \lambda_2=0, \lambda_3=-1\)。矩阵 \(A\) 中，前两行两列构成一个 \(2 \times 2\) 的约旦块 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) 对应于二重零特征值。因此，系统是不稳定的。

4. 李雅普诺夫第二方法 (Lyapunov's Second Method / Direct Method)

李雅普诺夫第二方法提供了一种不直接求解微分方程就能判断系统稳定性的方法。其基本思想是构造一个广义的“能量函数”（称为李雅普诺夫函数），通过考察这个函数及其导数的性质来判断稳定性。

a. 李雅普诺夫函数 (Lyapunov Function) \(V(\textbf{x})\)

对于系统 \(\dot{\textbf{x}} = \textbf{f}(\textbf{x})\) (假设平衡点在原点 \(\textbf{f}(\textbf{0})=\textbf{0}\))，一个标量函数 \(V(\textbf{x})\) 若在其定义域 \(\Omega\) (包含原点的一个邻域) 内满足：

正定性 (Positive Definite)：
- \(V(\textbf{x}) > 0\) 对于所有 \(\textbf{x} \neq \textbf{0}\) 且 \(\textbf{x} \in \Omega\)。
- \(V(\textbf{0}) = 0\)。
- (如果 \(V(\textbf{x}) \ge 0\)，则称为半正定)
连续可微。

b. 李雅普诺夫函数的导数 \(\dot{V}(\textbf{x})\)

\(\dot{V}(\textbf{x})\) 是 \(V(\textbf{x})\) 沿着系统轨迹的时间导数： \[ \dot{V}(\textbf{x}) = \frac{dV(\textbf{x})}{dt} = \left(\frac{\partial V}{\partial \textbf{x}}\right)^T \dot{\textbf{x}} = \left(\frac{\partial V}{\partial \textbf{x}}\right)^T \textbf{f}(\textbf{x}) \] 其中 \(\frac{\partial V}{\partial \textbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial V}{\partial x_1} & \frac{\partial V}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial V}{\partial x_n} \end{bmatrix}^T\) 是 \(V\) 对 \(\textbf{x}\) 的梯度。

负定性 (Negative Definite)：\(\dot{V}(\textbf{x}) < 0\) 对于所有 \(\textbf{x} \neq \textbf{0}\) 且 \(\textbf{x} \in \Omega\)。
半负定性 (Negative Semidefinite)：\(\dot{V}(\textbf{x}) \le 0\) 对于所有 \(\textbf{x} \in \Omega\)。

c. 李雅普诺夫稳定性定理

稳定性定理：如果在原点的一个邻域 \(\Omega\) 内，存在一个正定的李雅普诺夫函数 \(V(\textbf{x})\)，其导数 \(\dot{V}(\textbf{x})\) 是半负定的 (\(\dot{V}(\textbf{x}) \le 0\))，则原平衡点是稳定的 (i.s.L.)。
渐近稳定性定理：如果在原点的一个邻域 \(\Omega\) 内，存在一个正定的李雅普诺夫函数 \(V(\textbf{x})\)，其导数 \(\dot{V}(\textbf{x})\) 是负定的 (\(\dot{V}(\textbf{x}) < 0\) for \(\textbf{x} \neq \textbf{0}\))，则原平衡点是渐近稳定的。
大范围渐近稳定性定理 (LaSalle 不变性原理的推广)：如果在整个状态空间，存在一个正定的李雅普诺夫函数 \(V(\textbf{x})\) 满足 \(V(\textbf{x}) \to \infty\) 当 \(||\textbf{x}|| \to \infty\) (径向无界)，且其导数 \(\dot{V}(\textbf{x})\) 是半负定的 (\(\dot{V}(\textbf{x}) \le 0\))。并且，集合 \(S = \{\textbf{x} \in \mathbb{R}^n | \dot{V}(\textbf{x}) = 0\}\) 中，除了原点 \(\textbf{x}=\textbf{0}\) 外，不包含系统 \(\dot{\textbf{x}}=\textbf{f}(\textbf{x})\) 的任何完整轨迹，则原平衡点是大范围渐近稳定的。 (PPT P52 的定理更简洁：1. \(V(x,t)\) 正定；2. \(\dot{V}\) 半负定；3. \(\dot{V}\) 在系统任何非零轨迹上不恒为零；4. \(||x||\to\infty \implies V(x,t)\to\infty\)。则大范围渐近稳定。)
不稳定性定理 (Cetaev 不稳定性定理的特例)：如果在原点的一个邻域 \(\Omega\) 内，存在一个李雅普诺夫函数 \(V(\textbf{x})\) 使得 \(V(\textbf{0})=0\)，并且在 \(\Omega\) 内存在 \(V(\textbf{x})>0\) 的区域。若其导数 \(\dot{V}(\textbf{x})\) 在 \(V(\textbf{x})>0\) 的区域内是正定的，则原平衡点是不稳定的。 (PPT P63 的定理：1. \(V(x,t)\) 正定；2. \(\dot{V}(x,t)\) 正定。则不稳定。)

李雅普诺夫第二方法的关键：找到一个合适的李雅普诺夫函数 \(V(\textbf{x})\)。这通常没有系统的方法，特别是对于非线性系统。

例题 (参考P51) 系统：\(\dot{x}_1 = x_2 - x_1(x_1^2+x_2^2)\)，\(\dot{x}_2 = -x_1 - x_2(x_1^2+x_2^2)\)。平衡点 \((0,0)\)。选 \(V(x) = x_1^2 + x_2^2\)。显然 \(V(x)\) 正定。 \(\dot{V}(x) = 2x_1\dot{x}_1 + 2x_2\dot{x}_2 = 2x_1(x_2 - x_1(x_1^2+x_2^2)) + 2x_2(-x_1 - x_2(x_1^2+x_2^2))\) \(= 2x_1x_2 - 2x_1^2(x_1^2+x_2^2) - 2x_1x_2 - 2x_2^2(x_1^2+x_2^2)\) \(= -2(x_1^2+x_2^2)(x_1^2+x_2^2) = -2(x_1^2+x_2^2)^2\) 当 \(\textbf{x} \neq \textbf{0}\) 时，\(\dot{V}(x) < 0\)，所以 \(\dot{V}(x)\) 是负定的。因此，原点是渐近稳定的。由于 \(V(x) \to \infty\) 当 \(||\textbf{x}|| \to \infty\)，所以是大范围渐近稳定的。

d. 线性定常系统的李雅普诺夫方程

对于线性定常系统 \(\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}\)，通常选择二次型李雅普诺夫函数： \[ V(\textbf{x}) = \textbf{x}^T P \textbf{x} \] 其中 \(P\) 是一个对称正定矩阵。则 \(\dot{V}(\textbf{x}) = \dot{\textbf{x}}^T P \textbf{x} + \textbf{x}^T P \dot{\textbf{x}} = (A\textbf{x})^T P \textbf{x} + \textbf{x}^T P (A\textbf{x})\) \(= \textbf{x}^T A^T P \textbf{x} + \textbf{x}^T P A \textbf{x} = \textbf{x}^T (A^T P + PA) \textbf{x}\) 为了使 \(\dot{V}(\textbf{x})\) 负定，我们希望 \(A^T P + PA = -Q\)，其中 \(Q\) 是一个已知的对称正定矩阵 (通常取 \(Q=I\))。这个方程 \(A^T P + PA = -Q\) 称为**李雅普诺夫方程**。

定理 (李雅普诺夫方程稳定性判据)**：线性定常系统 \(\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}\) **渐近稳定**的充分必要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵 \(Q\)，李雅普诺夫方程 \(A^T P + PA = -Q\) 存在**唯一对称正定解 \(P\)**。

充分性：若存在这样的 \(P>0\) 使得 \(A^TP+PA=-Q\) 且 \(Q>0\)，则取 \(V(x)=x^TPx\)，\(V(x)>0\)。\(\dot{V}(x) = x^T(A^TP+PA)x = -x^TQx < 0\)。故系统渐近稳定。

必要性：若系统渐近稳定 (即 \(A\) 的所有特征值实部为负)，则对于任意 \(Q>0\)，解 \(P = \int_0^\infty e^{A^T t} Q e^{At} dt\) 是对称正定的。

例题 (参考P73) 分析系统 \(\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\) 的稳定性。 \(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\)。取 \(Q=I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。 \(A^T P + PA = -I\) \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) 展开得到： \(\begin{bmatrix} -p_{12} & -p_{22} \\ p_{11}-p_{12} & p_{12}-p_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -p_{12} & p_{11}-p_{12} \\ -p_{22} & p_{12}-p_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} -2p_{12} & p_{11}-p_{12}-p_{22} \\ p_{11}-p_{12}-p_{22} & 2(p_{12}-p_{22}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) 解方程组： \(-2p_{12} = -1 \implies p_{12} = 1/2\) \(p_{11}-p_{12}-p_{22} = 0 \implies p_{11} - 1/2 - p_{22} = 0\) \(2(p_{12}-p_{22}) = -1 \implies 2(1/2-p_{22}) = -1 \implies 1-2p_{22}=-1 \implies 2p_{22}=2 \implies p_{22}=1\) \(p_{11} = 1/2 + p_{22} = 1/2 + 1 = 3/2\) 所以 \(P = \begin{bmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix}\)。判断 \(P\) 是否正定： \(p_{11} = 3/2 > 0\) \(\det(P) = (3/2)(1) - (1/2)(1/2) = 3/2 - 1/4 = 5/4 > 0\) \(P\) 是正定矩阵。因此，系统是渐近稳定的。

5. 离散时间系统的稳定性

对于线性定常离散系统 \(\textbf{x}(k+1) = G\textbf{x}(k)\)：

渐近稳定：系统渐近稳定的充分必要条件是：系统矩阵 \(G\) 的所有特征值的模都小于1 (即 \(|\mu_i| < 1\) for all \(i\))。

稳定性 (i.s.L.)：系统稳定的充分必要条件是：

\(G\) 的所有特征值的模均不大于1 (即 \(|\mu_i| \le 1\) for all \(i\))。

所有模为1的特征值必须是 \(G\) 的最小多项式的单根 (即对应的约旦块维数为1)。

离散李雅普诺夫方程：系统 \(\textbf{x}(k+1) = G\textbf{x}(k)\) 渐近稳定的充分必要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵 \(Q\)，离散李雅普诺夫方程 \[ G^T P G - P = -Q \] 存在唯一对称正定解 \(P\)。此时，李雅普诺夫函数可选为 \(V(\textbf{x}(k)) = \textbf{x}^T(k) P \textbf{x}(k)\)。其差分 \(\Delta V(\textbf{x}(k)) = V(\textbf{x}(k+1)) - V(\textbf{x}(k)) = \textbf{x}^T(k+1)P\textbf{x}(k+1) - \textbf{x}^T(k)P\textbf{x}(k)\) \(= (G\textbf{x}(k))^T P (G\textbf{x}(k)) - \textbf{x}^T(k)P\textbf{x}(k) = \textbf{x}^T(k) (G^T P G - P) \textbf{x}(k) = -\textbf{x}^T(k) Q \textbf{x}(k)\)。由于 \(Q>0\)，所以 \(\Delta V(\textbf{x}(k)) < 0\) (当 \(\textbf{x}(k) \neq \textbf{0}\))，系统渐近稳定。

例题 (参考P79) \(\textbf{x}(k+1) = \begin{bmatrix} \mu_1 & 0 \\ 0 & \mu_2 \end{bmatrix} \textbf{x}(k)\) 取 \(Q=I\)。 \(G^TPG-P = \begin{bmatrix} \mu_1 & 0 \\ 0 & \mu_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mu_1 & 0 \\ 0 & \mu_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} \mu_1^2 p_{11} & \mu_1 \mu_2 p_{12} \\ \mu_1 \mu_2 p_{12} & \mu_2^2 p_{22} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{12} & p_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) \((\mu_1^2-1)p_{11} = -1 \implies p_{11} = \frac{1}{1-\mu_1^2}\) \((\mu_1\mu_2-1)p_{12} = 0\) \((\mu_2^2-1)p_{22} = -1 \implies p_{22} = \frac{1}{1-\mu_2^2}\) 如果 \(\mu_1\mu_2 \neq 1\)，则 \(p_{12}=0\)。 \(P = \begin{bmatrix} \frac{1}{1-\mu_1^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{1-\mu_2^2} \end{bmatrix}\) 为使 \(P\) 正定，需要 \(p_{11}>0\) 且 \(p_{22}>0\)，即 \(1-\mu_1^2 > 0 \implies |\mu_1|<1\) 和 \(1-\mu_2^2 > 0 \implies |\mu_2|<1\)。

六、总结

稳定性是控制系统正常工作的前提。

外部稳定性 (BIBO) 关注输入输出关系，判据是传递函数极点。

内部稳定性 (李雅普诺夫意义下) 关注系统状态在无外部输入时的行为。

线性定常系统的内部稳定性由系统矩阵 \(A\) (或离散系统的 \(G\)) 的特征值决定。

连续系统渐近稳定：所有特征值实部为负。

离散系统渐近稳定：所有特征值模小于1。

李雅普诺夫第二方法是判断稳定性的强大工具，尤其适用于非线性系统，核心是构造李雅普诺夫函数。

对于线性系统，可以通过求解李雅普诺夫方程来系统地判断稳定性和构造李雅普诺夫函数。

理解不同稳定性定义之间的区别与联系，熟练掌握各种判据是本章的重点。