第七章：模型预测控制 (Model Predictive Control, MPC) - 学习笔记

一、模型预测控制概述 (Introduction to Model Predictive Control)

1. 什么是模型预测控制？

模型预测控制 (MPC) 是一种先进的过程控制策略，它利用过程的动态模型来预测未来的输出行为，并通过在线优化计算未来一系列的控制动作，以使某个性能指标最优。然后，仅执行这一系列控制动作中的第一个，并在下一个采样时刻重复整个过程。

MPC也被称为：

• Receding Horizon Control (RHC) / 滚动时域控制
• Moving Horizon Control (MHC) / 移动时域控制

核心思想："基于模型预测，滚动优化，反馈校正"。

(参考 Seborg 教材 Ch 20.1 "Overview of Model Predictive Control")

2. MPC的关键要素 / 基本原理

MPC策略主要包含三个核心环节：

1. 预测模型 (Prediction Model)：
   • 利用过程的动态模型（如传递函数、状态空间模型、阶跃响应模型、脉冲响应模型等）来预测未来一段时间内（预测时域 $P$）被控变量的输出轨迹。
   • 这个预测会同时考虑未来的控制动作序列和可测量的扰动。
2. 滚动优化 / 在线优化 (Receding Horizon Optimization / Online Optimization)：
   • 在每个采样时刻，根据预测的输出和期望的参考轨迹（设定值），在一个未来控制时域 $M$ ($M \le P$) 内，通过优化算法（如二次规划QP）计算出一系列最优的控制动作序列 $\Delta \mathbf{u}(k), \Delta \mathbf{u}(k+1|k), \dots, \Delta \mathbf{u}(k+M-1|k)$。
   • 优化的目标是最小化一个预定义的目标函数 (Objective Function / Cost Function) $J$。目标函数通常包括：
     • 跟踪误差的平方和 (Predicted output error from setpoint)
     • 控制动作的变化量或幅值的平方和 (Control effort / move suppression)
   • 优化过程需要考虑过程的操作约束（如输入变量约束、输出变量约束、变化速率约束）。
3. 反馈校正 (Feedback Correction / Receding Horizon Implementation)：
   • 虽然计算出了一系列 $M$ 个未来的控制动作，但只执行第一个控制动作 $\Delta u(k)$ (或 $u(k)$)。
   • 在下一个采样时刻 $k+1$，重新测量当前过程输出，利用这个最新的测量值来校正模型预测（例如，通过比较实际输出和模型预测输出的差异，更新预测的初始状态或扰动估计）。
   • 然后重复步骤1和2，基于新的状态和预测，重新进行优化计算新的控制序列。
   • 这种滚动实施的方式使得MPC能够处理模型失配和未预料的扰动，体现了反馈控制的思想。

(参考 Seborg 教材 Ch 20.1, Ch 20.3 "MPC Control Calculations")

二、MPC的控制结构与计算 (MPC Control Structure and Calculations)

1. MPC控制回路

一个典型的MPC控制器在每个采样时刻 $k$ 执行以下步骤：

1. 获取当前过程测量值 $y_m(k)$。
2. 状态估计与扰动估计 (State/Disturbance Estimation)：根据 $y_m(k)$ 和过去的输入 $u(k-1)$，以及过程模型，估计当前过程的状态和未测量扰动的影响。常用卡尔曼滤波器或简单的偏差反馈。

   预测误差 $d(k) = y_m(k) - \hat{y}(k|k-1)$ (实际测量与上一步预测的当前值之差)。这个误差用于校正未来的预测。

3. 未来输出预测 (Future Output Prediction)：

   基于校正后的模型和未来的控制动作序列（待优化），预测未来 $P$ 步的输出 $\hat{y}(k+j|k)$ for $j=1, \dots, P$。

   预测通常分为两部分：

   • 自由响应 (Free Response)：假设未来控制动作保持不变（例如 $\Delta u = 0$）时的输出预测。
   • 强迫响应 (Forced Response)：由未来控制动作序列 $\Delta U_M = [\Delta u(k), \dots, \Delta u(k+M-1|k)]^T$ 引起的输出预测。

   $\hat{\mathbf{Y}}_P = \text{FreeResponse} + S \Delta \mathbf{U}_M$ (其中 $S$ 是动态矩阵或阶跃响应系数矩阵)

4. 设定参考轨迹 (Setpoint / Reference Trajectory)：

   定义未来 $P$ 步的期望输出轨迹 $Y_{sp}(k+j|k)$。

5. 优化计算控制序列 (Optimization of Control Sequence)：

   求解优化问题，最小化目标函数 $J$：

   $\min_{\Delta \mathbf{U}_M} J = \sum_{j=1}^{P} w_{y,j} [\hat{y}(k+j|k) - y_{sp}(k+j|k)]^2 + \sum_{j=0}^{M-1} w_{u,j} [\Delta u(k+j|k)]^2$

   约束条件 (Subject to)：

   • $u_{min} \le u(k+j|k) \le u_{max}$ (输入幅值约束)
   • $\Delta u_{min} \le \Delta u(k+j|k) \le \Delta u_{max}$ (输入变化率约束)
   • $y_{min} \le \hat{y}(k+j|k) \le y_{max}$ (输出约束，通常是软约束)

   $w_{y,j}$ 和 $w_{u,j}$ 是权重系数。

6. 实施控制 (Implement Control Action)：

   将优化得到的控制序列 $\Delta \mathbf{U}_M$ 中的第一个元素 $\Delta u(k)$ (或者 $u(k) = u(k-1) + \Delta u(k)$) 应用于实际过程。

7. 等待下一个采样时刻，重复以上步骤。

(参考 Seborg 教材 Ch 20.2 "Predictions for SISO Models", Ch 20.3 "MPC Control Calculations")

2. MPC的关键设计与整定参数

• 预测时域 $P$ (Prediction Horizon)：预测未来输出的时间步数。应足够长以覆盖过程的主要动态响应和达到稳态。
• 控制时域 $M$ (Control Horizon)：计算未来控制动作的时间步数 ($M \le P$)。在 $M$ 步之后，通常假设控制增量为零或控制输入保持不变。较小的 $M$ 可以减少计算量。
• 采样周期 $T_s$ (Sampling Period)：影响模型精度、计算负载和控制性能。
• 权重系数 $w_y, w_u$ (Weighting Factors)：在目标函数中用于平衡跟踪性能和控制动作的平稳性。
  • 增大 $w_y$ (或减小 $w_u$)：更强调跟踪设定值，可能导致控制动作更激进。
  • 增大 $w_u$ (或减小 $w_y$)：更强调控制动作的平稳性，抑制过大的控制变化，响应可能更平缓。
• 模型 (Process Model)：模型的准确性对MPC性能至关重要。
• 约束处理 (Constraint Handling)：如何定义和处理输入、输出及变化率约束。

(参考 Seborg 教材 Ch 20.5 "Selection of Design and Tuning Parameters")

三、MPC的优缺点与应用 (Advantages, Disadvantages, and Applications of MPC)

1. MPC的优点

• 显式处理约束：能够直接在优化问题中考虑输入、输出和变化率等约束，这对于实际工业过程非常重要。
• 处理多变量系统 (MIMO)：天然适用于多输入多输出系统，能有效处理变量间的耦合。
• 处理大纯滞后系统：基于模型的预测能够有效补偿纯滞后的影响。
• 处理非最小相位系统：通过预测可以预见并应对反向响应。
• 优化性能：通过在线优化，可以在满足约束的前提下使预定义的性能指标最优。
• 灵活性：可以采用不同类型的过程模型，目标函数和约束可以根据需求定制。
• 前馈控制能力：可以将可测量的扰动模型加入预测，实现前馈补偿。

2. MPC的缺点与挑战

• 依赖精确模型：性能高度依赖于过程模型的准确性。模型失配会导致性能下降。
• 计算量大：尤其对于复杂的MIMO系统、长预测时域或非线性模型，在线优化计算可能非常耗时，对硬件要求高。
• 参数整定复杂：涉及多个设计参数 ($P, M, T_s$, 权重等)，整定相对PID更为复杂，需要经验和反复试验。
• 理论分析困难：闭环系统的稳定性、鲁棒性等理论分析不如传统控制方法成熟（尽管已有很大进展）。
• 实现成本较高：相比传统PID，MPC的软件和硬件成本以及维护要求通常更高。

3. MPC的应用领域

MPC已成功应用于各种工业过程，特别是在那些具有慢动态、大滞后、多变量耦合和操作约束的场合：

• 石油化工：精馏塔、裂解炉、反应器等。
• 炼油：原油蒸馏、催化裂化等。
• 聚合物生产。
• 制浆造纸。
• 水泥生产。
• 电力系统。
• 航空航天、机器人等领域也有应用。

(参考 Seborg 教材 Ch 20.7 "Advantages and Disadvantages of MPC")

四、总结与解题重点 (Summary and Problem-Solving Focus)

本章核心在于理解模型预测控制的基本思想、工作原理以及其相对于传统控制方法的优势，特别是在处理复杂约束和多变量系统方面。

重点回顾：

• MPC三要素：预测模型、滚动优化、反馈校正。
• MPC工作流程：在每个采样时刻，基于当前测量，预测未来输出，在线优化未来控制序列，实施第一个控制动作，然后滚动进行。
• 关键参数：预测时域 $P$，控制时域 $M$，采样周期 $T_s$，目标函数中的权重 $w_y, w_u$。
• 核心优势：处理约束、MIMO系统、大滞后、优化性能。
• 主要挑战：依赖模型精度、计算量、参数整定。

通用解题技巧与理解要点：

• 概念理解：清晰解释MPC的"预测"、"优化"和"滚动时域"的含义。
• 框图识别：能够识别MPC系统的基本结构和信号流。
• 参数影响：理解 $P, M$ 和权重系数如何影响MPC的控制行为（例如，过小的 $P$ 可能看不到过程的全部动态，过大的 $M$ 增加计算负担，权重影响响应的激进程度）。
• 与传统控制对比：能够说出MPC与PID等传统控制方法在处理约束、多变量问题上的主要区别和优势。
• 应用场景判断：了解MPC适合应用于哪些类型的工业过程。

模型预测控制是现代控制理论在工业实践中应用最成功的案例之一，代表了先进过程控制的一个重要方向。